что полезно не упускать случаев
делать его немного занимательным
Паскаль
Голова или ноги
Кажется, один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствований – голова или ступни ног. Это очень поучительная геометрическая задача, если поставить вопрос определённым образом. Мы предложим его в таком виде.
З ад а ч а
Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?
Р е ш е н и е
Ноги прошли путь 2πR, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом
2π(R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность путей равна 2π(R + 1,7) - 2πR = 2π · 1,7 = 10,7 м.
Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой планетке. Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними. Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы её длину ровно настолько, насколько удлинится от такой же прибавки радиуса окружность пятака.
На этом геометрическом парадоксе* основана следующая любопытная задача, фигурирующая во многих сборниках геометрических развлечений.
Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1 м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь?
Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит один метр по сравнению с 40 миллионами метров земного экватора! В действительности же величина промежутка равна
100 поделить на 2 π см, это приближённо равно 16 см.
Не только мышь, но крупный кот проскочит в такой промежуток.
__________________________________
* Парадоксом называется истина, кажущаяся неправдоподобной, в отличие от софизма – ложного положения, имеющего видимость истинного.
Проволока вдоль экватора
З а д а ч а
Теперь вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору стальнй проволокой. Что произойдёт, если эта проволока охладится на 1 градус Цельсия? От охлаждения проволока должна укоротиться. Если она при этом не разорвалась и не растянулась, то как глубоко она врежется в почву?
Р е ш е н и е
Казалось бы, столь незначительное понижение температуры, всего на 1 градус Цельсия, не может вызвать заметного углубления проволоки в землю. Расчёты показывают другое.
Охлаждаясь на 1 градус, стальная проволока укорачивается на одну стотысячную долю своей длины. При длине в 40 миллионов метров (длина земного экватора) проволока должна сократиться, как легко посчитать, на 400 м. Но радиус этой окружности из проволоки уменьшится не на 400 м, а гораздо меньше. Для того, чтобы узнать, насколько уменьшится радиус, нужно 400 м разделить на 6,28, т.е. на 2π. Получится около 64 м. Итак, проволока, охладившись всего на 1 градус, должна была бы при указанных условиях врезаться в землю не на несколько миллиметров, как может показаться, а более чем 60 м!
Прямой угол в темноте
З а д а ч а
Как следовало бы поступить юному майнридовскому математику, чтобы надежным образом получить прямой угол? «Я приставил к ней (выступающей планке – Я.П.) длинный прут так, чтобы он образовал с ней прямой угол» - читаем мы в романе. Делая это в темноте, полагаясь только на мускульные ощущения, мы можем ошибиться довольно крупно. Однако у мальчика в его положении было средство построить прямой угол гораздо более надежным приёмом. Каким?
Р е ш е н и е
Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.
Это – старинный египетский способ, которым пользовались в стране пирамид несколько тысячелетий назад. Впрочем, ещё и в наши дни при строительных работах зачастую прибегают к такому же приёму.
Литература
Я.И. Перельман (под редакцией Б.А. Кордемского). Занимательная геометрия. Москва, 1994
Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?
Р е ш е н и е
Ноги прошли путь 2πR, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом
2π(R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность путей равна 2π(R + 1,7) - 2πR = 2π · 1,7 = 10,7 м.
Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой планетке. Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними. Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы её длину ровно настолько, насколько удлинится от такой же прибавки радиуса окружность пятака.
На этом геометрическом парадоксе* основана следующая любопытная задача, фигурирующая во многих сборниках геометрических развлечений.
Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1 м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь?
Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит один метр по сравнению с 40 миллионами метров земного экватора! В действительности же величина промежутка равна
100 поделить на 2 π см, это приближённо равно 16 см.
Не только мышь, но крупный кот проскочит в такой промежуток.
__________________________________
* Парадоксом называется истина, кажущаяся неправдоподобной, в отличие от софизма – ложного положения, имеющего видимость истинного.
Проволока вдоль экватора
З а д а ч а
Теперь вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору стальнй проволокой. Что произойдёт, если эта проволока охладится на 1 градус Цельсия? От охлаждения проволока должна укоротиться. Если она при этом не разорвалась и не растянулась, то как глубоко она врежется в почву?
Р е ш е н и е
Казалось бы, столь незначительное понижение температуры, всего на 1 градус Цельсия, не может вызвать заметного углубления проволоки в землю. Расчёты показывают другое.
Охлаждаясь на 1 градус, стальная проволока укорачивается на одну стотысячную долю своей длины. При длине в 40 миллионов метров (длина земного экватора) проволока должна сократиться, как легко посчитать, на 400 м. Но радиус этой окружности из проволоки уменьшится не на 400 м, а гораздо меньше. Для того, чтобы узнать, насколько уменьшится радиус, нужно 400 м разделить на 6,28, т.е. на 2π. Получится около 64 м. Итак, проволока, охладившись всего на 1 градус, должна была бы при указанных условиях врезаться в землю не на несколько миллиметров, как может показаться, а более чем 60 м!
Прямой угол в темноте
З а д а ч а
Как следовало бы поступить юному майнридовскому математику, чтобы надежным образом получить прямой угол? «Я приставил к ней (выступающей планке – Я.П.) длинный прут так, чтобы он образовал с ней прямой угол» - читаем мы в романе. Делая это в темноте, полагаясь только на мускульные ощущения, мы можем ошибиться довольно крупно. Однако у мальчика в его положении было средство построить прямой угол гораздо более надежным приёмом. Каким?
Р е ш е н и е
Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.
Это – старинный египетский способ, которым пользовались в стране пирамид несколько тысячелетий назад. Впрочем, ещё и в наши дни при строительных работах зачастую прибегают к такому же приёму.
Литература
Я.И. Перельман (под редакцией Б.А. Кордемского). Занимательная геометрия. Москва, 1994
Комментариев нет:
Отправить комментарий